Super-State Automata and Rational Trees

On introduit la notion d'automate des super-etats construit a partir d'un autre automate. Cette construction est utilis ee pour r esoudre un probl eme ouvert relatif aux suites enum eratives des feuilles d'arbres rationnels. On prouve qu'une suite N-rationnelle s = (s n) n0 d'entiers positif qui satis-fait l'in egalit e de Kraft : P n0 s n k ?n 1 est la suite enum erative selon la hauteur des feuilles d'un arbre rationnel k-aire. Ce r esultat avait et e con-jectur e, mais n' etait connu que dans le cas de l'in egalit e stricte. On utilise ensuite ce r esultat pour caract eriser les s eries qui les s eries enum eratives des noeuds d'un arbre rationnel k-aire. On donne egalement de nouvelles preuves, bas ees sur la notion d'automate des super-etats, du r esultat suiv-ant relatif aux suites enum eratives des nnuds dans un arbre : une suite N-rationnelle t ayant une repr esentation lin eaire primitive, telle que t 0 = 1, 8n 1; t n kt n?1 et dont le rayon spectral est strictement sup erieur a 1=k est la suite enum erative selon la hauteur des nnuds d'un arbre k-aire rationnel. Ce r esultat reste vrai si on remplace l'hypoth ese de primitivit e par le fait que la s erie admet une racine dominante. Abstract We introduce the notion of super-state automaton constructed from another automaton. This construction is used to solve an open question about enu-merative sequences of leaves of rational trees. We prove that any N-rational 1 sequence s = (s n) n0 of nonnegative integers satisfying the Kraft inequality P n0 s n k ?n 1 is the enumerative sequence of leaves by height of a k-ary rational tree. This result had been conjectured and was known only in the case of strict inequality. We then use this result to completely characterize the series that are the enumerative sequence of nodes in a k-ary rational tree. We also give new proofs, based on the notion of super-state automata, to the following known result about enumerative sequences of nodes in trees: any N-rational series t that has a primitive linear representation, such that t 0 = 1, 8n 1; t n kt n?1 , and whose convergence radius is strictly greater than 1=k, is the enumerative sequence of nodes by height in a k-ary rational tree. The same result holds if …